点電荷とクーロン力 — 距離の2乗に反比例する力

短い答え: 二つの点電荷が及ぼし合う力の大きさは $F = k\dfrac{|q_1 q_2|}{r^2}$ 。電荷に比例し、距離の2乗に反比例する。距離を2倍にすると力は 1/4、電荷を4倍にすると同じ力になる距離は2倍。

前提と約束

前提知識: 力のつり合い（上向きの力と重さ $mg$ が等しいと静止）。
真空中に静止した点電荷。 $k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8.99\times10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$ 、 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$ 。
同符号の電荷は反発し合い、異符号は引き合う。力は二つの電荷を結ぶ直線に沿う。
ゲームでは、机に固定した電荷 $Q$ の真上のガラス管に、同符号に帯電した玉（電荷 $q = 10\ \mathrm{nC}$ ）を入れる。高さは電荷の中心から測る。

式で納得: 浮いて止まる高さ

玉には上向きのクーロン力と、下向きの重さがはたらく。高さ $y$ での合力（上向きを正）は

F(y) = k\frac{Qq}{y^2} - mg

ゲームのピンクの矢印が第1項、黒の矢印が第2項。 $F(y) = 0$ となる高さで玉は浮いて止まる。

k\frac{Qq}{h^2} = mg \;\Longrightarrow\; h = \sqrt{\frac{kQq}{mg}}

ゲームでは電荷 $Q$ をおもりの正方形（1 個 = 10 nC）、玉の質量もおもりの正方形（1 個 ≈ 0.10 g）で表す。 $h$ は $Q$ と $m$ の比の平方根に比例するので、 高さの倍率は「正方形の一辺の比」になる。電荷 3×3・重さ 2×2 なら $h = 3\ \mathrm{cm}\times 3/2 = 4.5\ \mathrm{cm}$ 。

止まる高さが安定な理由

浮く高さより低いと、距離が縮んでクーロン力が重さより大きくなり、押し上げられる。
高いと、クーロン力が重さより小さくなり、落ちてくる。
どちらにずれても戻る向きに力がはたらく（上下方向には安定なつり合い）。

極限で確かめる

$Q \to 4Q$ : $h \to 2h$ 。力 4 倍を距離 2 倍で打ち消す。
$m \to 4m$ : $h \to h/2$ 。重い玉は電荷の近くでしか支えられない。
$Q$ と $m$ を同じ倍率で変えても $h$ は変わらない。

例題

机に固定した $Q = +40\ \mathrm{nC}$ の真上で、電荷 $q = +10\ \mathrm{nC}$ 、質量 $m = 0.102\ \mathrm{g}$ の小球が浮いて静止している。小球は電荷の中心から何 cm の高さにあるか。また、その高さで小球が受けるクーロン力の大きさを求めよ。

解答

$h = \sqrt{kQq/mg} = \sqrt{8.99\times10^{9}\times 40\times10^{-9}\times 10\times10^{-9} / (1.02\times10^{-4}\times 9.8)}$ $\approx \sqrt{3.60\times10^{-3}} \approx 6.0\times10^{-2}\ \mathrm{m}$ 。約 6.0 cm。クーロン力は重さと等しく $mg \approx 1.0\times10^{-3}\ \mathrm{N}$ 。

類題

二つの点電荷の距離を 1/3 にすると、クーロン力は何倍になるか。

答え
9 倍。力は距離の2乗に反比例する。
浮いている小球の質量を 4 倍にした。同じ高さに浮かせ続けるには、下の電荷 $Q$ を何倍にすればよいか。

答え
4 倍。 $kQq/h^2 = mg$ で $h$ を変えないなら、 $Q$ は $m$ に比例させればよい。
質量 $m$ 、電荷 $q$ の同じ小球 2 個を、長さ $L$ の軽い糸で同じ点からつるすと、反発して糸がそれぞれ鉛直と角 $\theta$ をなして静止した。 $q$ を $m, L, \theta, g, k$ で表せ。

答え

小球間の距離は $r = 2L\sin\theta$ 。糸の張力を $T$ とすると、水平 $T\sin\theta = kq^2/r^2$ 、鉛直 $T\cos\theta = mg$ 。割り算して $kq^2/r^2 = mg\tan\theta$ 、よって $q = 2L\sin\theta\,\sqrt{mg\tan\theta/k}$ 。

モデルの仮定と扱わないこと

点電荷のみ。電荷の大きさ・導体での電荷の偏り（静電誘導）は扱わない。
ガラス管は横へのずれを止めるため。静電気力と重力だけでは、玉を全方向に安定して浮かせることはできない（アーンショウの定理）。管がないと、玉は横に滑り落ちる。
判定: 高さは 0.5 cm のマス単位。チュートリアルは正解のマスだけ、チャレンジは 1 マス差で GREAT、3 マス差まで GOOD。

ゲームの表現について

玉の動きは実際の 1/5 の速さで見せている。空気の抵抗に相当する減衰を入れて、揺れが収まるようにしている。
背景の蛍光ペンは電場の強さ（ $kQ/r^2$ ）。濃さが 1 段上がるごとに 4 倍強い。黄色の外側の境目は、おもり 1 個ぶんの玉が浮く高さに当たる。

シリーズ内の位置

静電気シリーズ: 点電荷とクーロン力（この教材） → 電場の重ね合わせ（電場がゼロになる点） → 電位と仕事。

更新日: 2026-10-07 ・誤りのご報告はお問い合わせへ・プライバシー

点電荷とクーロン力（ゲーム）