電場がゼロになる点 — 二つの点電荷の重ね合わせ

短い答え: 同符号の点電荷 $q_1$ （ $x=0$ ）と $q_2$ （ $x=d$ ）の間で、電場がゼロになるのは $x = \dfrac{d}{1+\sqrt{q_2/q_1}}$ の1点。電荷が小さい方に近い側にずれる。

前提と約束

前提知識: クーロンの法則（点電荷の電場 $E = k\dfrac{|q|}{r^2}$ 、正電荷は外向き）、ベクトルの和。
真空中に静止した点電荷。 $k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8.99\times10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$ 。
座標: $q_1$ を原点、 $q_2$ を $x=d=30\ \mathrm{cm}$ に置く。右向き（ $+x$ ）を電場の正とする。
ゲームでは、試験電荷（負の小さな電荷）を二つの電荷を結ぶ軸上に置く・撃つ。点電荷の位置では電場が定義できないため、チュートリアルでは電荷から 2 cm 以内には置けない。

式で納得: なぜその位置か

電荷の間（ $0 < x < d$ ）では、 $q_1$ の電場は右向き、 $q_2$ の電場は左向き（どちらも正電荷のとき）。重ね合わせると

E(x) = k\frac{q_1}{x^2} - k\frac{q_2}{(d-x)^2}

ミッション中の「E₁（実線）」「E₂（破線）」はこの第1項・第2項、「E（太線）」が和に対応する。 $E(x)=0$ とおくと

\frac{q_1}{x^2} = \frac{q_2}{(d-x)^2} \;\Longrightarrow\; \frac{d-x}{x} = \sqrt{\frac{q_2}{q_1}}

\Longrightarrow\; x = \frac{d}{1+\sqrt{q_2/q_1}}

ゲームでは電荷 $q$ を $q$ 個の電荷ブロックの正方形で表す。正方形の一辺は $\sqrt{q}$ なので、ゼロ点は電荷の間を「一辺の比」で分ける点になる（例: 2×2 と 3×3 なら 2 : 3）。

平方根をとるとき、 $0<x<d$ なので両辺とも正の根だけを選ぶ。電場は距離の2乗に反比例するので、距離の比は電荷の比の平方根になる。電荷が4倍なら距離は2倍、9倍なら3倍。

極限で確かめる

$q_2 = q_1$ : $x = d/2$ （中点）。
$q_2 \to 0$ : $x \to d$ 。弱い電荷のすぐそばでしか打ち消せない。
$q_2 \to \infty$ : $x \to 0$ 。強い電荷から離れ、 $q_1$ に張り付く。
$q_1, q_2$ を同じ倍率で変えても $x$ は変わらない（比だけで決まる）。

例題

$q_1 = +2\ \mathrm{nC}$ を原点、 $q_2 = +8\ \mathrm{nC}$ を $x = 30\ \mathrm{cm}$ に置く。電荷の間で電場がゼロになる位置と、その点で各電荷が作る電場の大きさを求めよ。

解答

$\sqrt{q_2/q_1} = 2$ より $x = 30/(1+2) = 10\ \mathrm{cm}$ 。各電荷の電場の大きさは $E_1 = k\,q_1/x^2 = 8.99\times10^{9}\times 2\times10^{-9}/0.10^2 \approx 1.80\times10^{3}\ \mathrm{N/C}$ 、 $E_2 = k\,q_2/(d-x)^2 = 8.99\times10^{9}\times 8\times10^{-9}/0.20^2 \approx 1.80\times10^{3}\ \mathrm{N/C}$ 。大きさが等しく向きが逆なので合成はゼロ。

類題

$q_1 = +3\ \mathrm{nC}$ 、 $q_2 = +12\ \mathrm{nC}$ 、 $d = 60\ \mathrm{cm}$ 。電荷の間で電場がゼロになる点は $q_1$ から何 cm か。

答え
$\sqrt{12/3}=2$ より $x = 60/3 = 20\ \mathrm{cm}$ 。
両方の電荷を負（ $-2\ \mathrm{nC}$ と $-8\ \mathrm{nC}$ ）にすると、つり合い点はどう変わるか。

答え
変わらない（10 cm）。両方の電場の向きが反転するだけで、大きさの比は同じ。
$q_1 = +1\ \mathrm{nC}$ 、 $q_2 = -4\ \mathrm{nC}$ 、 $d = 30\ \mathrm{cm}$ 。電場がゼロになる点は電荷の間にあるか。ないならどこか。

答え

間にはない。間では両方の電場が右向き（ $q_1$ から離れる向きと $q_2$ に向かう向き）で足し合う。外側で、絶対値の小さい $q_1$ の側（ $x<0$ ）にある。 $|q_1|/x^2 = |q_2|/(d-x)^2$ から $(d-x)/(-x) = 2$ 、 $x = -30\ \mathrm{cm}$ 。上のゲームの「自由」ステージで $q_2$ を負にして確かめられる（操作範囲外なので数値で表示）。

モデルの仮定と扱わないこと

静止した点電荷のみ。導体・誘電体・電荷の大きさは扱わない。
試験電荷は軸上のみ。同符号の二電荷の場合、平面内で電場がゼロになるのはこの1点だけ（軸外では垂直成分が打ち消されない）。
判定: チュートリアルは $|E_1+E_2| \,/\, (|E_1|+|E_2|) \le 3\%$ をつり合いとみなす（電荷量・距離のスケールに依らない比）。ゼロ点スナイプは 0.5 cm（異符号の広い盤面では 5 cm）のマス単位で判定する。
電場ゼロの点は電位ゼロの点ではない（電位は次の教材で扱う）。

ゲームの表現について

試験電荷が受ける力の向きと、電場の強さに比例して加速することは実際の物理どおり。ただし速さの尺度（試験電荷の質量）は見やすさのために決めた値。
ゼロ点に置いた試験電荷が「ロック」されて止まるのは演出。負の試験電荷にとってこのゼロ点は不安定なつり合いで、実際にはわずかなずれでも動き出す。
「電荷ブロックを広げた正方形の粒の濃さ」は、電場の強さ $kq/r^2$ （電荷の量 ÷ 距離の2乗）を目で比べるためのたとえ。

シリーズ内の位置

静電気シリーズ: 点電荷とクーロン力 → 電場の重ね合わせ（この教材） → 電位と仕事。

更新日: 2026-10-07 ・誤りのご報告はお問い合わせへ・プライバシー

電場がゼロになる点 — 二つの点電荷の重ね合わせ（ゲーム）