斜方投射 — 45°で最も遠く、θ と 90°−θ は同じ距離

斜方投射 — 45° で最も遠く、θ と 90° − θ は同じ距離

短い答え: 水平な地面から速さ $v$ 、仰角 $\theta$ で投げた物体の水平到達距離は $R = \dfrac{v^2 \sin 2\theta}{g}$ （空気抵抗なし）。 $\sin 2\theta$ が 1 になる 45° で最大、 $\theta$ と $90^\circ - \theta$ は同じ距離。速さ2倍で距離4倍。

前提と約束

前提知識: 等速直線運動、等加速度運動（ $y = v_0 t - \tfrac12 g t^2$ ）、三角比。
地面は水平で、投げる高さと着地の高さは同じ。空気抵抗は無視、 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$ 。
ゲームの基本の速さは $v = 14\ \mathrm{m/s}$ （45° で 20 m）。角度は 5° 刻みで選ぶ。

式で納得: 到達距離の式

速度を水平成分 $v\cos\theta$ と鉛直成分 $v\sin\theta$ に分ける。水平方向は等速、鉛直方向は重力で減速する。

x = v\cos\theta\; t, \qquad y = v\sin\theta\; t - \frac12 g t^2

$y = 0$ に戻る時刻（滞空時間）は $t = 2v\sin\theta / g$ 。そのときの $x$ が到達距離で

R = v\cos\theta \cdot \frac{2v\sin\theta}{g} = \frac{v^2 \cdot 2\sin\theta\cos\theta}{g} = \frac{v^2\sin 2\theta}{g}

$\sin 2\theta \le 1$ なので、最大は $2\theta = 90^\circ$ 、つまり 45° のとき $R_{\max} = v^2/g$ （14 m/s なら 20 m）。
$\sin 2(90^\circ - \theta) = \sin(180^\circ - 2\theta) = \sin 2\theta$ 。だから 15° と 75°、30° と 60° は同じ距離。高い弾道は滞空時間が長く、壁を越えられる。
$R \propto v^2$ 。速さ 2 倍で距離 4 倍（速さを √2 倍すると距離 2 倍）。

45° の近くは鈍い

$\sin 2\theta$ は 45° で山の頂上なので、40° や 50° でも $\sin 80^\circ \approx 0.985$ 。距離は 1.5% しか減らない。逆に 15° の近くでは、5° 変えると距離が 3 割近く変わる。

例題

水平な地面から速さ 14 m/s、仰角 30° でボールを投げた。到達距離・最高点の高さ・滞空時間を求めよ。

解答

$R = 14^2 \sin 60^\circ / 9.8 = 20 \times 0.866 \approx 17.3\ \mathrm{m}$ 。最高点 $H = (v\sin\theta)^2/(2g) = 7^2/19.6 = 2.5\ \mathrm{m}$ 。滞空時間 $t = 2v\sin\theta/g = 2\times 7/9.8 \approx 1.43\ \mathrm{s}$ 。

類題

14 m/s で 60° に投げたときの到達距離は？ 30° のときと比べて、最高点の高さは何倍か。

答え

到達距離は同じ 17.3 m。最高点は $\sin^2 60^\circ / \sin^2 30^\circ = (3/4)/(1/4) = 3$ 倍（7.5 m）。
45° で投げて 20 m 飛んだ。同じ角度で 80 m 飛ばすには、速さを何倍にすればよいか。

答え
2 倍。 $R \propto v^2$ なので距離 4 倍には速さ 2 倍。
速さ $v$ で投げて、距離 $D$ （ $D < v^2/g$ ）の的に当てる角度を求めよ。

答え

$\sin 2\theta = gD/v^2$ より $\theta = \tfrac12 \arcsin(gD/v^2)$ と、その余角 $90^\circ - \theta$ の 2 つ。 $D = v^2/g$ なら 45° の 1 つだけ、 $D > v^2/g$ なら届かない。

モデルの仮定と扱わないこと

空気抵抗なし。実際のボールは空気抵抗で、最も遠くへ飛ぶ角度が 45° より小さくなることが多い。
投げる高さと着地の高さが同じ場合のみ。崖の上から投げる場合は 45° が最適とは限らない。
判定: 着地点と的の距離の差が 2% 以内で PERFECT、6% 以内で GREAT、12% 以内で GOOD。

ゲームの表現について

滞空時間が長い投げ方は、見やすさのため早回しで見せている（着地まで最長 1.6 秒）。軌道の形は実際どおり。
縦と横は同じ縮尺で描いている。

シリーズ内の位置

力学シリーズ: 斜方投射（この教材） → 単振動（ばね振り子の周期）。

更新日: 2026-10-07 ・誤りのご報告はお問い合わせへ・プライバシー

斜方投射（ゲーム）