単振動 — ばね振り子の周期 T = 2π√(m/k)

短い答え: ばね定数 $k$ のばねにつるした質量 $m$ のおもりは、周期 $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ で単振動する。振幅によらない。周期を2倍にするには質量を4倍（またはばね定数を1/4）にする。

前提と約束

前提知識: フックの法則 $F = -kx$ 、運動方程式 $ma = F$ 、三角関数。
ばねの質量・空気抵抗は無視。おもりは鉛直方向にだけ動く。
ゲームのおもりは 1 個 0.1 kg、基本のばねは $k \approx 15.8\ \mathrm{N/m}$ （1 個で周期 0.5 秒）。「かたいばね」は $4k$ 。

つり合いの位置からの変位を $x$ （下向き正）とすると、重力とつり合いの位置でのばねの力は打ち消し合い、残るのは $-kx$ だけ。

m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx \;\Longrightarrow\; x = A\cos\omega t,\quad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}

1 往復の時間（周期）は $T = 2\pi/\omega$ なので

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

ゲームの右側は、おもりに付けたペンが描く $x$ – $t$ グラフ。おもりが一番下に来た点（波の一番下）から、次の一番下までの横幅が周期。赤い縦線の間隔（拍）とこの間隔が同じなら、周期がそろっている。

ばね定数 15.8 N/m のばねに 0.40 kg のおもりをつるして振動させた。周期を求めよ。また、周期を 1.5 秒にするには、おもりを何 kg にすればよいか。

解答

$T = 2\pi\sqrt{0.40/15.8} \approx 2\pi\times 0.159 \approx 1.0\ \mathrm{s}$ 。周期を 1.5 倍にするには質量を $1.5^2 = 2.25$ 倍にして 0.90 kg（ゲームのおもり 9 個）。

同じばねを 2 本並列につないで、同じおもりをつるした。周期は何倍になるか。

答え
並列のばね定数は $2k$ なので、周期は $1/\sqrt2 \approx 0.71$ 倍。
振幅を 2 倍にして揺らした。周期と、つり合いの位置を通るときの速さはそれぞれ何倍か。

答え

周期は変わらない（1 倍）。最大の速さは $A\omega$ なので 2 倍。
おもりをつるすと、ばねが 4.9 cm 伸びてつり合った。このばね振り子の周期を求めよ（ $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$ ）。

答え

つり合い $k\,\Delta l = mg$ より $m/k = \Delta l / g$ 。 $T = 2\pi\sqrt{\Delta l/g} = 2\pi\sqrt{0.049/9.8} \approx 0.44\ \mathrm{s}$ 。質量を知らなくても求まる。

力学シリーズ: 斜方投射 → 単振動（この教材）。

更新日: 2026-10-07 ・誤りのご報告はお問い合わせへ・プライバシー