電位と仕事 — 位置エネルギーの坂 U = kQq/r

短い答え: 点電荷 $Q$ から距離 $r$ の点の電位は $V = k\dfrac{Q}{r}$ 、そこに置いた電荷 $q$ の位置エネルギーは $U = qV = k\dfrac{Qq}{r}$ 。 距離に反比例するので、半分の距離では2倍。近づけるのに必要な仕事は $W = U(r_2) - U(r_1)$ 。

前提と約束

前提知識: クーロン力、運動エネルギー $\tfrac12 mv^2$ 、エネルギー保存。
真空中に静止した点電荷。電位の基準は無限遠（ $r\to\infty$ で $V = 0$ ）。
ゲームでは、固定電荷 $Q = 40\ \mathrm{nC}$ （おもり 1 個ぶん）に向けて、24 cm の位置から玉（ $q = 10\ \mathrm{nC}$ 、 $m = 1.0\ \mathrm{g}$ ）を打ち出す。重力・摩擦は考えない。
エネルギーは「ブロック」で数える。1 ブロック = 24 cm での位置エネルギー $kQq/(0.24\ \mathrm{m}) \approx 1.5\times10^{-5}\ \mathrm{J}$ 。

式で納得: どこで止まるか

反発力だけがはたらくので、力学的エネルギーが保存する。打ち出し位置 $L$ と、止まる位置 $r$ （速さ 0）で

\frac12 mv_0^2 + k\frac{Qq}{L} = k\frac{Qq}{r}

ゲームの「坂」はこの右辺 $U(r)$ のグラフ、青い横線は左辺（打ち出したときの全エネルギー）。横線と坂が交わる所で玉は止まり、そのあと押し戻される。ブロックで数えると $U(r) = 24 / r[\mathrm{cm}]$ ブロックなので

K + 1 = \frac{24}{r} \;\Longrightarrow\; r = \frac{24\ \mathrm{cm}}{1+K}

8 cm で止めるには坂の高さ 3 ブロック、打ち出し位置にもともと 1 ブロックあるので、足すのは $K = 2$ 。半分の 4 cm では坂の高さが2倍の 6 ブロックになり、 $K = 5$ （2倍の 4 では足りない）。

電位と仕事の関係

電位 $V$ は「1 C あたりの位置エネルギー」。坂の形は電位のグラフと同じで、高さを $q$ 倍したものが $U$ 。
外から玉をゆっくり $r_1$ から $r_2$ へ運ぶ仕事は $W = q\{V(r_2) - V(r_1)\}$ 。経路によらない。
電場は坂の傾き: $E = -\dfrac{dV}{dr} = k\dfrac{Q}{r^2}$ 。坂が急な所ほど電場（力）が強い。

極限で確かめる

$K \to 0$ : $r \to L$ 。打ち出さなければ動かない（実際はすぐ押し戻される）。
$K \to \infty$ : $r \to 0$ 。ただし電荷には届かない（坂が無限に高くなる）。
固定電荷を2倍: 坂の高さも2倍。同じ所で止めるにはエネルギーも2倍（打ち出し位置の高さも2倍になる）。

例題

原点に固定した $Q = +40\ \mathrm{nC}$ に向けて、24 cm の位置から $q = +10\ \mathrm{nC}$ 、 $m = 1.0\ \mathrm{g}$ の小球を速さ $0.245\ \mathrm{m/s}$ で打ち出した。小球が最も近づく距離と、その点の電位を求めよ。

解答

運動エネルギー $\tfrac12 mv_0^2 = \tfrac12 \times 1.0\times10^{-3}\times 0.245^2 \approx 3.0\times10^{-5}\ \mathrm{J}$ 、打ち出し位置の位置エネルギー $kQq/L = 8.99\times10^{9}\times 40\times10^{-9}\times 10\times10^{-9}/0.24 \approx 1.5\times10^{-5}\ \mathrm{J}$ 。合計 $4.5\times10^{-5}\ \mathrm{J}$ が $kQq/r$ に等しいので $r = 3.6\times10^{-6}/4.5\times10^{-5} \approx 0.080\ \mathrm{m}$ （8.0 cm）。電位は $V = kQ/r = 8.99\times10^{9}\times 40\times10^{-9}/0.080 \approx 4.5\times10^{3}\ \mathrm{V}$ 。

類題

点電荷からの距離を 3 倍にすると、電位は何倍になるか。電場は何倍か。

答え
電位は 1/3 倍（ $1/r$ ）、電場は 1/9 倍（ $1/r^2$ ）。
$+2\ \mathrm{nC}$ の電荷を、電位 $100\ \mathrm{V}$ の点から $400\ \mathrm{V}$ の点へゆっくり運ぶのに必要な仕事は？

答え
$W = q\Delta V = 2\times10^{-9}\times 300 = 6.0\times10^{-7}\ \mathrm{J}$ 。
同じ $+q$ の点電荷 2 個を距離 $d$ 離して置く。中点の電場と電位はそれぞれいくらか（無限遠を基準）。

答え

電場は 0（左右の電場が打ち消す。電場がゼロになる点）。電位は向きのないスカラーなので足し合わさり、 $V = 2\times kq/(d/2) = 4kq/d$ 。電場ゼロでも電位はゼロではない。

モデルの仮定と扱わないこと

固定電荷は動かない（実際には反作用で動くが、十分重いとする）。重力・空気抵抗・放射は考えない。
玉は一直線上を動く。軸からずれた場合の軌道（散乱）は扱わない。
判定: ブロック数がぴったりで PERFECT、1 ずれで GREAT、2 ずれで GOOD。

ゲームの表現について

「坂」は位置エネルギーのグラフで、玉が実際に坂を登るわけではない（玉は一直線に動く）。坂の上の青い点は、そのときの玉の位置エネルギー。
坂の下の蛍光ペンは、4 ブロック・8 ブロックを超えると濃くなる。

シリーズ内の位置

静電気シリーズ: 点電荷とクーロン力 → 電場の重ね合わせ → 電位と仕事（この教材）。

更新日: 2026-10-07 ・誤りのご報告はお問い合わせへ・プライバシー

電位と仕事（ゲーム）