減衰振動 — 臨界減衰 c = 2√(mk) で最も速く戻る

短い答え: 運動方程式 $m\ddot x + c\dot x + kx = 0$ の解は、減衰比 $\zeta = c/(2\sqrt{mk})$ で 3 通りに分かれる。 $\zeta < 1$ は行き過ぎて振動しながら減衰、 $\zeta > 1$ はゆっくり戻る。 行き過ぎずに最も速く戻るのは臨界減衰 $c = 2\sqrt{mk}$ 。

前提と約束

前提知識: 単振動、2 階線形常微分方程式、指数関数・複素数。
ダンパーの力は速度に比例（ $-c\dot x$ ）。摩擦・ばねの質量は無視。
ゲームの台車は 1 個 1 kg、基本のばね $k_0 = 4\pi^2\ \mathrm{N/m}$ （周期 1 秒）。ダンパーの 1 目盛りは $\sqrt{m_0k_0} = 2\pi\ \mathrm{N\,s/m}$ 。台車を 10 cm 引いて静かに放す。

式で納得: 特性方程式で 3 通りに分かれる

$x = e^{\lambda t}$ を代入すると、特性方程式と根は

m\lambda^2 + c\lambda + k = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = \frac{-c \pm \sqrt{c^2 - 4mk}}{2m}

根号の中の符号で運動が変わる。境目 $c^2 = 4mk$ 、つまり $c_c = 2\sqrt{mk}$ が臨界減衰。 $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ 、 $\zeta = c/c_c$ とおく。

不足減衰（ζ < 1）

根は複素数 $-\zeta\omega_0 \pm i\omega_d$ （ $\omega_d = \omega_0\sqrt{1-\zeta^2}$ ）。 $x = x_0 e^{-\zeta\omega_0 t}\left(\cos\omega_d t + \tfrac{\zeta\omega_0}{\omega_d}\sin\omega_d t\right)$ 。0 を行き過ぎて、振幅が指数関数的に減る。最初の行き過ぎの量は $x_0\, e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}$ 。

臨界減衰（ζ = 1）

重根 $\lambda = -\omega_0$ 。 $x = x_0(1+\omega_0 t)e^{-\omega_0 t}$ 。行き過ぎず、最も速く 0 に近づく。

過減衰（ζ > 1）

2 つの負の実根。遅い方の根 $-\zeta\omega_0 + \omega_0\sqrt{\zeta^2-1}$ は ζ を大きくするほど 0 に近づくので、ダンパーを強くするほど戻るのが遅くなる。

√ が効く

$c_c = 2\sqrt{mk}$ 。台車を 4 倍重くすると臨界のダンパーは 2 倍、ばねを 9 倍かたくすると 3 倍。ゲームの目盛りは「2 × 重さの一辺 × ばねの一辺」。

例題

質量 1.0 kg、ばね定数 $4\pi^2 \approx 39.5\ \mathrm{N/m}$ の振動系に、減衰係数 $c = 2\pi \approx 6.3\ \mathrm{N\,s/m}$ のダンパーを付けた。減衰比・減衰振動の周期・最初の行き過ぎの割合を求めよ。

解答

$c_c = 2\sqrt{mk} = 4\pi$ なので $\zeta = 0.5$ 。 $\omega_d = 2\pi\sqrt{1-0.25} \approx 5.44\ \mathrm{rad/s}$ 、周期 $2\pi/\omega_d \approx 1.15\ \mathrm{s}$ （減衰なしの 1 秒より長い）。行き過ぎは $e^{-\pi\times0.5/\sqrt{0.75}} \approx 0.16$ 、つまり 16%。

類題

車輪 1 本ぶんの質量 300 kg、サスペンションのばね定数 $3.0\times10^{4}\ \mathrm{N/m}$ 。臨界減衰になるショックアブソーバーの減衰係数は？

答え
$c_c = 2\sqrt{300\times 3.0\times10^4} = 2\times 3000 = 6.0\times10^{3}\ \mathrm{N\,s/m}$ 。
不足減衰で、隣り合う山の振幅の比の自然対数（対数減衰率） $\delta = \ln(x_n/x_{n+1})$ を ζ で表せ。

答え
1 周期 $2\pi/\omega_d$ で $e^{-\zeta\omega_0 t}$ が減るので $\delta = \dfrac{2\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}$ 。
コイル L・抵抗 R・コンデンサ C の直列回路で、コンデンサの電荷が振動せずに最も速く放電する R は？

答え

$L\ddot q + R\dot q + q/C = 0$ は台車の式と同じ形（m → L、c → R、k → 1/C）。 $R = 2\sqrt{L/C}$ 。

モデルの仮定と扱わないこと

速度に比例する減衰（粘性減衰）だけを扱う。速度によらない摩擦（クーロン摩擦）や空気抵抗の 2 乗則は別の式になる。
外から周期的に力を加える場合（強制振動・共振）は扱わない。
判定: 目盛りが臨界ちょうどで PERFECT、減衰比のずれ 10% 以内で GREAT、26% 以内で GOOD。

ゲームの表現について

「戻った」は、それ以降ずっと 0 から 10 cm の 2% 以内（緑の帯）に入ったこと。
長い記録は早回しで描いている。グラフの形と時間の目盛りは実際どおり。

シリーズ内の位置

力学（基礎）: 斜方投射 → 単振動。大学: 減衰振動（この教材）。

更新日: 2026-10-07 ・誤りのご報告はお問い合わせへ・プライバシー

減衰振動（ゲーム）