共振 — 強制振動の振幅と固有周期

短い答え: 減衰のある振動子を角振動数 $\omega$ の周期的な力で揺らすと、十分時間がたったあとの振幅は $A(\omega) = \dfrac{a_0}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2 + (2\zeta\omega_0\omega)^2}}$ 。減衰が小さいと 固有角振動数 $\omega_0$ の近くで振幅が急に大きくなる（共振）。ブランコ（振り子）の $\omega_0 = \sqrt{g/L}$ は質量によらない。

前提と約束

前提知識: 単振動、減衰振動、複素数・三角関数の合成。
ブランコは振れの小さい振り子として扱う（ $\sin\theta \approx \theta$ ）。空気抵抗などの減衰は速度に比例し、減衰比 $\zeta = 0.03$ 。
ゲームのロープは「n×n 目盛り」（1 目盛り $= g/(4\pi^2) \approx 0.248\ \mathrm{m}$ ）。固有周期は n 秒になる。押す力は $a_0\cos\omega t$ の形で表す。

式で納得: 定常振幅と位相

振れ角 $\theta$ の運動方程式は

\ddot\theta + 2\zeta\omega_0\dot\theta + \omega_0^2\theta = a_0\cos\omega t,\qquad \omega_0 = \sqrt{g/L}

解は「減衰振動（そのうち消える）」と「押す周期で揺れる定常解」の和。定常解を $\theta = A\cos(\omega t - \varphi)$ （複素数 $\theta = \mathrm{Re}\,\hat A e^{i\omega t}$ とおくと楽）として代入すると

A = \frac{a_0}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2 + (2\zeta\omega_0\omega)^2}},\qquad \tan\varphi = \frac{2\zeta\omega_0\omega}{\omega_0^2-\omega^2}

共振の特徴

$\omega = \omega_0$ で $A = a_0/(2\zeta\omega_0^2)$ 。減衰が小さいほど高い山。厳密な最大は $\omega_0\sqrt{1-2\zeta^2}$ （減衰が小さければ ω₀ とほぼ同じ）。
位相の遅れ φ は、ゆっくり押すと 0、共振で 90°、速く押すと 180° に近づく。共振では「速さが最大の瞬間に押している」ので、毎回エネルギーを足し込める。
山の鋭さは Q 値 $Q = 1/(2\zeta)$ 。振幅が山の $1/\sqrt2$ になる幅は $\Delta\omega \approx \omega_0/Q$ 。ゲームのブランコは $Q \approx 17$ 。

ずれるとうなる

静止から押し始めると、最初は減衰振動（ $\omega_0$ ）と定常解（ $\omega$ ）が重なる。少しずれた周期では、2 つが強め合ったり打ち消したりして、振幅が周期 $2\pi/|\omega-\omega_0|$ で大きくなったり小さくなったりする（うなり）。記録紙のふくらんだりしぼんだりする波がそれ。減衰があると最初の振動は時間とともに消えるので、うなりも次第に弱まる（ゲームの記録ではうなりの一部だけが見える）。

振り子の周期は質量によらない

$mL\ddot\theta = -mg\sin\theta$ の両辺の $m$ が消えるので、 $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$ 。大人が乗っても子どもが乗っても同じリズムで押せばよい。

例題

長さ 1.0 m のブランコを、何秒ごとに押せば共振するか。また、減衰比 0.03 のとき Q 値と、振幅が山の 1/√2 になる周期の幅はおよそいくらか。

解答

$T_0 = 2\pi\sqrt{1.0/9.8} \approx 2.0\ \mathrm{s}$ 。 $Q = 1/(2\times0.03) \approx 17$ 。 $\Delta\omega/\omega_0 \approx 1/Q \approx 0.06$ なので、周期で見ても約 6%（2.0 秒の前後 ±0.06 秒ほど）の幅。

類題

固有周期 2.0 秒のブランコを 2.2 秒ごとに押し始めた。うなりの周期はおよそ何秒か。

答え

$|\omega - \omega_0| = 2\pi|1/2.2 - 1/2.0| \approx 0.286\ \mathrm{rad/s}$ 、うなりの周期 $2\pi/0.286 \approx 22\ \mathrm{s}$ （減衰を無視した場合。減衰があると、うなりは数周期のうちに弱まる）。
コイル 10 mH とコンデンサ 1.0 μF の直列回路に交流電圧を加える。電流が最大になる周波数は？

答え

$f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC}) = 1/(2\pi\sqrt{10^{-2}\times10^{-6}}) \approx 1.6\times10^{3}\ \mathrm{Hz}$ 。ばね振り子と同じ形の式（L が質量、1/C がばね定数）。
Q 値を 2 倍にすると（減衰を半分にすると）、共振の山の高さと幅はどう変わるか。

答え

高さ $a_0/(2\zeta\omega_0^2)$ は 2 倍、幅 $\omega_0/Q$ は半分。鋭く高い山になる。

モデルの仮定と扱わないこと

振れが小さい場合だけ（大きな振れでは周期が長くなり、共振の周期もずれる）。
実際のブランコ押しは一瞬の「ひと押し」だが、ここでは滑らかな周期的な力（ $\cos\omega t$ ）で表す。ひと押しを 2 回に 1 回にしても揺らせる、といった効果は扱わない。
判定: 押す周期と固有周期の差が 1% 以内で PERFECT、4% 以内で GREAT、8% 以内で GOOD。

ゲームの表現について

記録は固有周期の 8 回ぶん。長い記録は早回しで描く。旗の高さは共振したときの揺れの 70%。
ロープの絵は長いものほど長く描くが、画面に収めるため長さの比は正確ではない。ロープの刻み（n×n 個）と数字で実際の長さを示す。

シリーズ内の位置

力学（基礎）: 単振動。大学: 減衰振動 → 共振（この教材）。

更新日: 2026-10-07 ・誤りのご報告はお問い合わせへ・プライバシー

共振（ゲーム）