ガウスの法則 — 球・直線・平面の電場を閉曲面で求める

短い答え: 任意の閉曲面 $S$ について $\displaystyle\oint_S \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{A} = \frac{Q_{\mathrm{in}}}{\varepsilon_0}$ 。対称性のある分布では、 $E$ が一定になる面を選べば $E = Q_{\mathrm{in}}/(\varepsilon_0 A)$ （中の電荷 ÷ 面積）。一様な球の外は $1/r^2$ 、中は $\propto r$ 、無限直線は $1/r$ 、無限平面は一定。

前提と約束

前提知識: クーロンの法則、電場の重ね合わせ、面積分・体積の計算、ベクトルの内積。
真空中の静電場。 $\varepsilon_0 \approx 8.85\times10^{-12}\ \mathrm{F/m}$ 、 $k = 1/(4\pi\varepsilon_0)$ 。
ゲームの球・球殻の半径は 4 cm。電場は「中の電荷 ÷ 面積」の比で表し、 $4\pi$ などの定数は省く。

式で納得: 対称性で積分を消す

ガウスの法則そのものは、どんな閉曲面でも成り立つ。使えるのは、面上で E の大きさが一定で、向きが面に垂直になる面を選べるときだけ。そのとき面積分は $EA$ になり、

E \cdot A = \frac{Q_{\mathrm{in}}}{\varepsilon_0} \;\Longrightarrow\; E = \frac{Q_{\mathrm{in}}}{\varepsilon_0 A}

ゲームの「中の電荷 ÷ 面積」は、この式そのもの。電束（電場線の本数）は中の電荷で決まり、それが面積に広がって薄まった濃さが電場になる。

一様に帯電した球（全電荷 $Q$ 、半径 $a$ ）

外（ $r \ge a$ ）: 同心球面で $E\cdot 4\pi r^2 = Q/\varepsilon_0$ 、 $E = kQ/r^2$ 。点電荷と同じ。
中（ $r < a$ ）: 囲む電荷は体積比で $Q (r/a)^3$ 。 $E\cdot 4\pi r^2 = Q r^3/(\varepsilon_0 a^3)$ 、 $E = kQr/a^3$ 。中心で 0、表面で最大。

帯電した球殻

中の同心球面は電荷を囲まないので $E = 0$ 。外は点電荷と同じ。

無限に長い直線（線密度 $\lambda$ ）

同軸の円柱（半径 $r$ 、長さ $L$ ）をとる。上下のふたは電場と平行で電束 0、側面だけが効く。 $E\cdot 2\pi r L = \lambda L/\varepsilon_0$ 、 $E = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$ 。

無限に広い平面（面密度 $\sigma$ ）

平面を貫く箱（底面積 $A$ ）をとる。上下の面だけが効き $E\cdot 2A = \sigma A/\varepsilon_0$ 、 $E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ 。距離によらない。

微分形との関係

ガウスの発散定理 $\oint_S \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{A} = \int_V \nabla\cdot\boldsymbol{E}\, dV$ を使うと、どんな体積でも成り立つことから $\nabla\cdot\boldsymbol{E} = \rho/\varepsilon_0$ （マクスウェル方程式の 1 つ）。一様な球の中で $\boldsymbol{E} = (\rho/3\varepsilon_0)\,\boldsymbol{r}$ とすると、確かに $\nabla\cdot\boldsymbol{E} = \rho/\varepsilon_0$ 。

例題

全電荷 $Q = 8.0\ \mathrm{nC}$ が半径 4.0 cm の球に一様に分布している。中心から 2.0 cm、4.0 cm、8.0 cm の点の電場の大きさを求めよ。

解答

表面: $E = kQ/a^2 = 8.99\times10^{9}\times 8.0\times10^{-9}/0.04^2 \approx 4.5\times10^{4}\ \mathrm{N/C}$ 。 2.0 cm（中）: $E \propto r$ なので表面の 1/2、約 $2.2\times10^{4}\ \mathrm{N/C}$ 。 8.0 cm（外）: $E \propto 1/r^2$ なので表面の 1/4、約 $1.1\times10^{4}\ \mathrm{N/C}$ 。

類題

線密度 $\lambda = 2.0\ \mathrm{nC/m}$ の無限に長い直線から 5.0 cm の点の電場は？

答え
$E = \lambda/(2\pi\varepsilon_0 r) = 2.0\times10^{-9}/(2\pi\times 8.85\times10^{-12}\times 0.05) \approx 7.2\times10^{2}\ \mathrm{N/C}$ 。
面密度 $+\sigma$ と $-\sigma$ の無限平面を平行に置いた（平行板コンデンサ）。板の間と外の電場は？

答え

1 枚ずつの電場 $\sigma/(2\varepsilon_0)$ を重ね合わせる。間では同じ向きで足されて $\sigma/\varepsilon_0$ 、外では打ち消して 0。
半径 $a$ の導体球に電荷 $Q$ を与えた。球の中と外の電場は？一様に帯電した球との違いは？

答え

導体の電荷は表面に集まる（球殻と同じ）。中は $E = 0$ 、外は $kQ/r^2$ 。一様な球では中に $kQr/a^3$ の電場があるが、導体では 0。外は同じ。

モデルの仮定と扱わないこと

無限に長い直線・無限に広い平面は理想化。有限の長さ・大きさでは、端から遠い所でだけ近似として成り立つ。
ガウスの法則は常に成り立つが、対称性がない分布（たとえば有限の長さの棒）では、それだけで E は求まらない。
判定: 半径は 0.5 cm のマス単位。答えがマスの上にないとき（√2 × 4 ≈ 5.7 cm など）は、いちばん近いマスを正解にする。

ゲームの表現について

盤面は断面の 1/4 で、ガウス面は実際には閉じた球面（直線では円柱）。
断面図の電場線の本数は、平面上では円周（ $\propto r$ ）に広がるので 1/r で薄まって見える。実際の点電荷は球面（ $\propto r^2$ ）に広がるので 1/r²。絵の線の濃さで点電荷の電場を読まないこと。
背景の蛍光ペンは電場の強さの段（2.5 倍ごと）。

シリーズ内の位置

静電気（基礎）: クーロン力 → 電場の重ね合わせ → 電位と仕事。大学: ガウスの法則（この教材）。

更新日: 2026-10-07 ・誤りのご報告はお問い合わせへ・プライバシー

ガウスの法則（ゲーム）